Samenvatting - Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen Breuken – verhouding tussen deel en - Studeersnel (2024)

Vak

Universiteit

Hogeschool Windesheim

Boek in lijstRekenen met Hele Getallen op de Basisschool

Geüpload door:

Reacties

Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen

Breuken – verhouding tussen deel en geheelProcenten – verhouding tussen deel en geheel dat op 100 is gesteldKommagetallen – vaak meetgetallen die de verhouding aangeven tot een bepaalde maatHoofdstuk 1 – Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallenRelatief aspect: snappen dat er grote overeenkomsten zijn tussen verhoudingen, procenten,breuken en kommagetallenVerschijningsvormen: hoe komen de verschillen en overeenkomsten voor in de realiteit,bijvoorbeeld: notatie (hoe noteer ik iets)Absolute gegevens: getallen die naar daadwerkelijke getallen/hoeveelheden verwijzen.Bijvoorbeeld: er zitten 52 mensen in het stadion, in een woning wonen 4 mensen. Er zitgeen vaste verhouding in.Relatieve gegevens: staan in relatie tot andere getallen en je kunt het daadwerkelijke getalniet direct aflezen. Bijvoorbeeld: zo’n 45% van de leeftijdsgroep.... Of 3 op de 5 bezoekersvond dat....Strookmodel: laat zowelrelatieve gegevens (hetpercentage) als absolutegegevens (de aantallen) zien.Benoemd getal: om onderscheid te maken tussen relatieve en absolute gegevens is hethandig om de getallen te benoemen. Bijvoorbeeld: 35 euro of 40 keer.Rationaal getal: getallen die als een breuk, kommagetal en percentage te schrijven zijn.Het is voor kinderen moeilijk om te zien dat 0,1 en 0,10 hetzelfde is en hier worden veelfouten gemaakt. Een manier om dit inzichtelijk te maken zijn de ondermaten te kunnenberedeneren. Bijvoorbeeld: 0,1 meter is 1 decimeter en 1 decimeter is 10 centimeter, dusdaarom mag je 0,10 en 0,1 schrijven.

Repeterende breuk: de getallen in een breuk herhalen zich. Bijvoorbeeld: 0,142857142857...In de breuk is 142857 het repetendum: het geen dat zich elke keer herhaaltOperator: doet iets met een getal, hoeveelheid of prijs.Een breuk kan zowel een absoluut getal zijn als een relatief getal zijn.Een breuk op de getallenlijn is een absoluut gegeven.Een breuk, deel als geheel, bepalen is een relatief gegeven.Declaratieve kennis: kennis uit weetjes en feiten.Formeel niveau: alle weetjes inoefenen waardoor je op formeel niveau komt.Model ondersteunend: het aanleren van de feitend.m. bijvoorbeeld een strookmodel of cirkelmodel.Productief oefenen: oefenen met het aanleren van de weetjes. De kinderen moeten het zelfbedenken. Hier denken ze na over welke kennis ze al hebben en oefenen ze ermee.Samenhang en verschillen: - Wieke at 3/5 deel van haar reep op. - 3 op de 5 automobilisten staat regelmatig in de file. - Dit voedsel bestaat voor 60 procent uit water. - Het is nog 0,6 km tot de camping. - Drie delen zand op vijf delen cement. - De kale breuk is 3/5.

Externe verhoudingen: Een verhouding waarin de verhoudingsgetallen betrekking hebbenop verschillende grootheden. Bijvoorbeeld: 3kg appels is 5 euro, dus de verhouding is 3 : 5.Verhoudingsdeling: Deeltal en deler representeren hetzelfde (intern)Verdelingsgedrag: Deeltal en deler representeren iets anders (extern)Kwalitatieve verhoudingen: Zonder getallen, schatten, beredeneren, afpassen.Kwantitatieve verhoudingen: Met getallen, getalsmatige verhouding, precisie,verhoudingstabel.Kwantificeren: Er wordt een getal aan toegekend.Lineair verband: Verband tussen twee grootheden dat als grafiek een rechte lijn heeft. Stelde lijn gaat door de oorsprong, dan is het een evenredig verband.Niet-evenredig verband: De verhouding is wel lineair, maar niet evenredig. Je kan nietvanuit de oorsprong redeneren.Omgekeerd evenredig voorbeeld:Verhoudingsgewijs redeneren: Redeneren aan de hand van verhoudingen op de correctemanier.Additieve betekenis: Iets dat zich optelt. Bijvoorbeeld het woord ‘meer’.Multiplicatieve context: Het woord ‘keer’ past hierbij. Voorbeeld: drie keer meer wordt meebedoeld dat het vier keer zo veel is.Break-evenpoint: Daar waar twee lijnen samenkomen.Wordt veel gebruikt in de economie.Gulden snede: Een verhouding die sinds de 17e eeuwstaat voor een schoonheidsideaal. Dit wordt aangeduid met phi, deze is ongeveer0,618. Pi: Net als phi is pi een oneindig doorgaand kommagetal. Deze begint met 3,1415926......., het is een irrationaal getal.

Rij van fibonacci: Een rij van getallen waarbij het volgende getal de som van de tweegetallen ervoor is. Het begint met 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55.....Kinderen moeten inzicht krijgen in de betekenis van een verhouding.Eerlijk verdeelsituaties: Komen aan bod vanaf groep 4 en gaat om het kunnenvermenigvuldigen. Bijvoorbeeld: 3 kinderen hebben 6 snoepjes, hoeveel snoepjes zijn er dannodig voor 4 kinderen?Toepassingssituatie: Door het leren van verhoudingen in context en toepassingssituaties ishet makkelijker om voor kinderen te begrijpen wat ze doen.3 modellen om verhoudingen inzichtelijk te maken:De dubbele getallenlijn kan je gebruiken om de verhouding te laten zien, maar ook om aante geven wat een evenredig verband is, omdat je dit ziet oplopen.Bij de verhoudingstabel gaat het om de verbanden te zoeken en te werken binnenVermenigvuldig strategieën. Het kan ook gebruikt worden als uitrekentabel in moeilijkeopgaves om de verbanden te achterhalen in een opgave. Ze gebruiken de verhoudingstabelals denkmodel, doordat het overzichtelijk is welke eenheden en grootheden je gebruikt. Hetis dan duidelijk welke stappen er gezet moeten worden.Kruislings vermenigvuldigen: Is een tactiek die gebruikt wordt om moeilijke getallen teberekenen in een verhoudingstabel.Hoe rekenen we het? uit d.m. kruislings vermenigvuldigen: 900 x 5,40 : 640 =?Schaalbegrip: Het inzicht dat afbeeldingen van objecten op schaal in vaste verhouding tot dewerkelijke grootte staan.Hoe kleiner de schaal (ofwel hoe groter het schaalgetal), des te meer is de afbeeldingverkleind. Er wordt dan een groter gebied afgebeeld, maar met minder details.Verhoudingen kunnen een overeenkomst hebben met andere leerlijnen: - Verbanden d.m. dubbele getallenlijn - Meten en meetkunde d.m. het metrieke stelsel, grootheden, viseren, verhoudingsgewijs redeneren, schaal en niet evenredige verbanden

Hoofdstuk 3 – ProcentenRelatief gegeven: Procenten zijn een relatief gegeven, want het staat altijd in verhouding totiets. Meestal is dit het totaal, namelijk 100%.Percentage: Procenten worden uitgedrukt in percentages, 100% is dus een percentage.Verschijningsvormen in realiteit: - Korting: prijsverlaging in procenten - Rente - Inflatie: De waarde van geld dat stijgt of daalt in procentenAndere verschijningsvormen: - Deel van een geheel: Bijvoorbeeld een trui bestaat voor 20% uit viscose - Verdeling: Deel van een hoeveelheid, bijvoorbeeld 11% van de Nederlanders heeft een vis - Toename: Een geheel plus een deel van het geheel bij bijvoorbeeld prijstoename of een geheel min een deel van het geheel bij een prijsafname.Conflictopgave: 100% is het totaal, maar in bijvoorbeeld reclames wordt er soms gezegd: Nu150% meer. Dit kan een conflict opleveren, 100% is namelijk al het totaal hoe kan er dan nogmeer zijn? In dit geval betekent dit bijvoorbeeld dat er 1,5 keer zoveel in zit dan normaal.Procentpunt: Het aantal punten waarmee bijvoorbeeld iets gedaald is. Bijvoorbeeld van 4%naar 2% is 2 procentpunten en niet 2%. De afname is namelijk 50% en 2 procentpunten.Promille ‰: per duizend, 1:Er zijn twee manieren waarop procenten worden geïntroduceerd: - Vanuit verschijningsvormen in de realiteit - Vanuit situaties waarin procenten benut worden als alternatief voor werken met breuken.3 modellen bij procenten: - Cirkelmodel / sectordiagram - Strookmodel - VerhoudingstabelDoelen cirkelmodel: - Visualisering getal relaties - Visualisering deel van een geheel

Doelen strookmodel: - Visualiseren - Relatieve aspect - Deel, geheelDoelen verhoudingstabel: - Notatieschema: overzicht tussenstappen - Denkmodel: ondersteunt het denkenHoofdrekenen met het hoofd: Het rekenwerk vindt in het hoofd plaats, maar er isondersteuning d.m. een kladblaadje.Hoofdrekenen uit het hoofd: Het rekenwerk vindt in het hoofd plaats en er is geenondersteuning.Procentenasymmetrie: Als er ergens een bepaald percentage bijkomt, er een anderpercentage af moet om op het goede antwoord te komen.Standaardprocedure: Bij procenten is dit meestal de 1% regel, omdat deze het makkelijkst tegebruiken is, zowel voor hoofdrekenen als voor rekenen met rekenmachine.Procenten kunnen een overeenkomst hebben met andere leerlijnen: - Verbanden: diagram/grafiek, deel van een totaal, staafgrafiek of sectordiagram Schets van leerlijn procenten

Kleinst gemene veelvoud (KGV): Kleinste getal waar beide getallen door kunnen wordengedeeld. Bijvoorbeeld van 4 en 6 is dit 12. De noemer van de breuk wordt dan 12 om zegelijknamig te maken.Echte breuk: Teller is kleiner dan de noemer.Onechte breuk: Teller is groter dan de noemer.Gemengde breuk: Een heel getal en een breuk.Stambreuk: Een breuk met 1 als teller.Modellen bij breuken: - Cirkelmodel - Rechthoekmodel/plakmodel - Strookmodel en breukenstokken - Getallenlijn/dubbele getallenlijnDoel cirkelmodel: - Maakt goed zichtbaar dat een breuk een deel van een geheel isDoelen rechthoekmodel/plakmodel: - Representeert zowel deel van geheel als deel van een hoeveelheid - Biedt meer mogelijkheden voor vergelijken van breukenDoelen strookmodel en breukenstokken: - Visualiseren deel van het geheel - Zichtbaar om mee te kunnen meten - Gelijkwaardige breuken mee bepalen (vooral breukenstokken)Doelen getallenlijn/dubbele getallenlijn: - Breuken positioneren en ordenen (getallenlijn) - O. visualiseren basisbewerkingen met breuken (dubbele getallenlijn)Breukbegrip: Aspecten van het rekenen en redeneren met breuken: - Verschillende betekenissen van breuken kunnen onderscheiden, bijvoorbeeld breuken als resultaat van het eerlijk delen en alle andere verschijningsvormen - Het relatieve karakter van breuken begrijpen, ze verwijzen naar een deel van iets - Inzicht hebben in de relaties tussen breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten en op getalsniveau allerlei relaties kunnen beredeneren. - Inzicht hebben in gelijkwaardigheid en gelijknamigheid - Breuken kunnen vergelijken en globaal kunnen plaatsen op de getallenlijn

Bemiddelde grootheid: De stukjes of blokjes die gebruikt worden bij het rechthoekmodel ofplakmodel. Dit geeft de kinderen inzicht in het vinden van een gemeenschappelijke noemer
Relaties tussen breuken:

Verschijningsvormen: - Meetgetallen - RekengetallenVerschil kommagetallen en breuken: - Gestandaardiseerde breuken - Schrijfwijze horizontaal en decimaalDe schrijfwijze van kommagetallen is positioneel en decimaal, net als bij hele getallen. Ookhebben kommagetallen een positiewaarde.Positioneel: Het getal heeft een positie op de getallenlijnDecimaal: Decimale structuur bestaat uit 10. Dus 1 t/m 10, maar ook 0,1 t/m 1 is ookdecimaal.Positiewaarde: Waar een cijfer staat in een getal, bepaalt de waarde van het getal.Gestandaardiseerde breuken: Kommagetallen zijn gestandaardiseerde breuken zoalstienden, honderden, duizenden ect. Deze kan je positioneren op de getallenlijn.Verfijning: Door de kommagetallen heb je precisie. Want er zitten nog meer waardes tussen0,7 en 0,8 bijvoorbeeld. Dit kan je verfijnen tussen twee tiende of twee honderden, tweeduizenden etc.Continue karakter: Je kan een kommagetal zo lang maken als je wilt en zo het getal meerprecies maken.Equivalente breuk: Ook wel gelijkwaardige breuk. Dit is bij kommagetallen heel makkelijk.Een 0 achter een kommagetal maakt namelijk geen verschil. 0,7 is hetzelfde als 0,70.Rationaal getal: Getallen die je als een breuk kan schrijven.Irrationaal getal: Getallen die je niet als breuk kan schrijven.Meetnauwkeurigheid: Met kommagetallen is meetnauwkeurigheid heel belangrijk, omdathet een continue karakter heeft. Hierdoor kan je ook verfijnen.Meetinterval: De afstand waartussen je meetgetal ligt. Bijvoorbeeld het meetgetal 0,70 ligtin het meetinterval 0,695 en 0,Komma’s in grote getallen: De komma betekent niet altijd dat dit klein is. Bijvoorbeeld inhet getal 27,5 miljoen is de 5 achter de komma. De 5 is hier 5/10 van een miljoen.

Meetcontext: Het introduceren van meetgetallen gebeurt in groep 6 door het aan te biedenin een meetcontext uit het dagelijkse leven. Bijvoorbeeld hectometer paaltjes naast desnelweg.Benoemd meetgetal: Er wordt uitgelegd wat de meetgetallen betekenen en wat dus debetekenis is voor het getal achter de komma. Bijvoorbeeld 2,38 euro is 2 euro en 38 cent.Metriek stelsel: Ook heeft het metrieke stelsel een grote rol hierin. Ze weten 1kg = 1000 g.Modellen en schema’s bij kommagetallen: - Getallenlijn en dubbele getallenlijn - PositieschemaHet ontwikkelen van kommagetalbegrip is belangrijk en heeft een paar belangrijke aspecten: - Kommagetallen globaal en precies plaatsen op de getallenlijn met een passende schaal. - De relatieve orde van grootte doorzien en daardoor schattend kunnen rekenen met kommagetallen - Kommagetallen zien als reken- en meetgetallen - De decimale verfijning begrijpen - Kunnen hoofdrekenen met kommagetallen en inzicht hebben in de uitwerking van de hoofdbewerkingen met kommagetallen. - Inzicht hebben in kommaverschuiving - Kunnen afrondenDe cijfers en de getallen achter de komma lijken makkelijk te vereenvoudigen als je ze wiltoptellen. Hierdoor kan een cognitief conflict ontstaan. Bijvoorbeeld 3,14 + 2,5 is niet 3,19,maar 3,64.Beredenerend schatten: Schatten door na te denken waarom iets zo geschat is.Inklemmen: Strategie voor het beredenerend schatten. Bijvoorbeeld 3,8 x 5,9 ligt tussen de15 (3 x 5) en 24 (4 x 6).Bij het vermenigvuldigen van kommagetallen is het belangrijk om de betekenis van degetallen te weten. Bijvoorbeeld als je 3L x 25cl wilt doen, moet je 3 x 0,25 doen. Ze moetendan dezelfde eenheid hebben.Kommagetallen kunnen een overeenkomst hebben met andere leerlijnen: - Breuken - Hele getallen: kommagetallen zijn een uitbreiding van de structuur van hele getallen - Meten - Meetkunde

• Maatschappelijk functioneren: Reken-wiskunde helpt kinderen grip te krijgen op de wereld om hen heen.
• Vervolgonderwijs: Reken-wiskunde bereidt de kinderen voor op het VO, met name voor wiskunde, techniek, economie, aardrijkskunde en scheikunde.
• Vakspecifieke doelen: Kinderen leren bijvoorbeeld probleemoplossingen en ontwikkelen een wiskundige attitude.Wiskundige attitude: Geïnteresseerde, kritische en onderzoekende houding ten aanzien vangetalsmatige en wiskundige informatie.Achterliggende waardes van rekenen-wiskunde: De drie doelen van rekenen-wiskunde,namelijk respectievelijk de maatschappelijke waarde, de voorbereidende waarde en devakspecifieke waarde van rekenen-wiskunde.Gecijferdheid: Adequaat kunnen handelen en redeneren in alledaagse situaties waaringetallen en getalsmatige, meetkundige en wiskundige aspecten een rol spelen.Een volwassen gecijferd mens:
• Kan in het dagelijks leven schatten, hoofdrekenen en cijferen, de rekenmachinegebruiken en een passende keuze maken tussen deze rekenvormen.
• Weet wiskundetaal correct en adequaat te gebruiken.
• Kan betekenis geven aan getallen, bewerkingen, maten en het metriek stelsel.
• Kan redeneren en rekenen met kansen en grote, maar ook kleine getallen.
• Beschikt over referentiematen en getallen voor het doen van schattingen
• Weet fouten en gemanipuleer met getalsmatige informatie in bijvoorbeeldnieuwsinformatie te herkennen en te ontmaskeren.Professionele gecijferdheid: Is voor belang van het beroepsmatig functioneren.Beroepsmatig functioneren: Hierbij gaat het om de benodigde reken-wiskundige kennis envaardigheden voor een beroep, bijvoorbeeld een apotheker die kleine hoeveelheden heelprecies moet kunnen omrekenen en afwegen.Leerinhoud: Het gaat hier om zaken als het domein, de bewerkingen en de getallenwaarmee gerekend wordt.Leerlinggedrag: Beschrijft wat de leerlingen doen met de leerinhoud. Dit omvat hethandelingsniveau en andere omstandigheden of voorwaarden zoals het gebruik vankladpapier.Beheersing: Omschrijft aan welke norm voldaan moet worden, dit kan kwantitatief enkwalitatief1F: Fundamenteel niveau, minimum

1S: StreefniveauDifferentiatie: Door het 1F en 1S niveau is er differentiatie mogelijk. Iedereen kan leren opeigen niveau waardoor niet alle leerlingen aan het eind van de basisschool dezelfde doelenhoeven te behalen.Wat als 1F niet haalbaar is?: Er zijn uitzonderingen hiervoor. Voor deze leerlingen zijnaangepaste doelen en leerroutes noodzakelijk. Het gaat hier dan om een beperking van hetbeheersen van de fundamentele rekenvaardigheden.Hoger dan 1S niveau: Er zijn ook kinderen die meer aankunnen dan niveau 1S beschrijft. Er isdaarvoor verrijkings- en verdiepingsmateriaal op de markt dat tegemoet komt aan despecifieke leerbehoeften en ontwikkelingsmogelijkheden van deze kinderen. Het gaat hierdus niet om extra of vrijblijvende stof, maar voor hen geldende reguliere lesstof, passend bijhun mogelijkheden.Mathematiseren: Ver wiskundigenHorizontaal mathematiseren: Het vertalen van een concrete situatie naar een rekenopgaveof rekenaanpak.Modelleren/schematiseren: Horizontaal mathematiseren d.m. modellen of schema’s voorde tussenstappen.Verticaal mathematiseren: Oplossen van een opgave op een steeds hoger wiskundig niveau,het uitbreiden van wiskundige kennis en vaardigheden.Verkorten: Het korter en efficiënter uitvoeren van procedures.Compliceren: Het leren beheersen van steeds complexere zakenFormaliseren: Het leerproces om reken-wiskundige situaties en problemen op steedsformeler en abstracter niveau op te lossen.Automatiseren: Het aanleren van een routinematig van rekenhandelingen, automatisme.Memoriseren: Uit het hoofd leren kennen van rekenfeitenConsolideren: Het in stand houden of beschikbaar houden van geautomatiseerde engememoriseerde kennis.Declaratieve kennis: Kennis uit weetjes.

• Formeel, vakmatig redeneren en rekenenSimultane interactie: De leerlingen discussiëren en redeneren onderling (horizontaleinteractie) waarbij de leerkracht ervoor zorgt dat de redeneringen de goede kant op gaan,door goede vragen te stellen (verticale interactie).IJsberg model: Laat zien dat veelheid aan informele en semiformele kennis en inzichten tengrondslag liggen aan formele rekenwiskundige kennis en vaardigheden.Drijfvermogen: Het drijfvermogen bestaat uit een breed draagvlak van onderliggendekennis, vaardigheden en inzichten.Handelingsmodel: Schematische weergave van de reken-wiskundige ontwikkeling van dekinderenDrieslagmodel: Biedt een analysekader voor probleemoplossend handelen van de leerlingenen biedt aanknopingspunten voor het didactisch handelen van de leerkracht.

Hoofdstuk 7 – Differentiatie: passend reken – wiskunde onderwijsBij het omgaan met verschillen maken scholen gebruik van de cyclus van handelingsgerichtwerken: 1. Waarnemen 2. Begrijpen 3. Plannen 4. Realiseren